الأنماط

احسب الحد النوني للنمط

هل لاحظت أن الزيادة بين حدين متتالين هي 4 ؟

المتتالية من الدرجة الأولى والصورة العامة لها

5   9  13  17  21

الفرق بين حدين متتالين هو 4

ونعلم أن مضاعفات 4 ما يلي

4  8  12  16  20

الحد العام = 4ن + 1

=====================================================

مثال

3  5  7  9  11  13

لاحظ الزيادة بين كل حدين متتالين=2

3  5  7  9  11  13

مضاعفات 2

2  4  6  8  10

الحد العام = 2ن + 1

========================================

أمثلة عندما يكون الفرق بين حدين متتالين غير ثابت

لاحظ أن الفرق الثاني ثابت مما يعني أن  المتتالية  من الدرجة الثانية في صورة

نعوض في الصورة العامة عن n

مرة = 1 ومرة ثانية =2 ومرة ثالثة =3 نحصل على

ونحسب الفرق

 الفرق الثابت = 2a

هذا الفرق الثاني في التعويض = الفرق الثاني في الحدود

2 = 2a

ومنها

a=1

 نعوض في المقدر

3a+b

الفرق الأول في التعويض= الفرق الأول في حدود المتتالية

3a+b= = 5

حيث ان

a=1

يكون

b=2

a+b+c= الحد الأول = 4

نعوض عن  

a ,b

    نحصل على

c= 1

الحد العام

نطبق القاعدة على الحد رقم 3

9+6+1= 16

 بالنظر الى النمط يمكن استنتاج القاعدة

الأعداد  1    2     3  

النمط      2    3     4     

مربعات

 (الحدود +1)^2

متطابقة مربع مجموع حدين

(ن+1)^2= ن^2+2ن+1

=============================================================

متتاليات من الدرجة الثالثة

الرابع بدون تشويش مربعات غير ملونة

البرمجية

الوصف

الحد الرابع: 4 مرات مربع 4 في 4 +مستطيلين 1 في 4 +  مربع

الحد الثالث: 3 مرات مربع 3 في 3 +مستطيلين 1 في 3 + مربع

الحد الثاني: 2 مرة مربع 2 في 2 +مستطيلين 1 في 2 +مربع

الحد الأول: مرة واحدة مربع 1 في 1+مستطيلين ( 1في 1) + مربع

 المتتالية من الدرجة الثالثة

an^3 +bn^2+cn+d

نعوض عن n مرة 1 ومرة 2 ومرة 3 ومرة4 ونحسب الفروق

                                  6a= 6                                

a=1

الفرق الثاني في التعويض= الفرق الثاني في الحدود

18a+2b= 12

نعوض عن a=1

b=صفر

الفرق الأول  في التعويض= الفرق الأول في الحدود

7a+3b+c=9

نعوض عن a و b ونحسب c

c=2

الحد الأول  في التعويض= الحد الأول في الحدود

a+b+c+d

يساوي

 4

a+b+c+d= 4

نعوض فنحصل على

d=1

للحصول على القاعدة العامة نعوض في المقدار

an^3 +bn^2+cn+d

عن a , b, c, d

نحصل على

n^3 +2n+1

==============================================================

الحد الرابع: 4 مرات مربع 4 في 4 +مستطيلين

1 في 4 +  مربع

الحد الثالث: 3 مرات مربع 3 في 3 +مستطيلين 1 في 3 + مربع

الحد الثاني: 2 مرة مربع 2 في 2 +مستطيلين 1 في 2 +مربع

الحد الأول: مرة واحدة مربع 1 في 1+مستطيلين ( 1في 1) + مربع

==============================================================

ما قاعدة النمط

 بالنظر الى الشكل من الأسفل الى الأعلى وعد المكعبات يجد أن القاعدة

مربع  ن في ن

  وفوقه

 ن(ن-1)

 وفوق ذلك

ن ( ن -2)

Solution .      

 

n² + n(n−1) + n(n−2) + … + n(1)

 

Step 1: Factor out n

 

n·n + n(n−1) + n(n−2) + … + n(1)

 

= n [ n + (n−1) + (n−2) + … + 1 ]

 

هذا المقدار عبارة مجموع الأعداد المتتالية

 

Step 2: Sum of first n natural numbers

 

n + (n−1) + (n−2) + … + 1

 

= n(n+1) / 2

 

Step 3: Substitute

 

= n × ( n(n+1) / 2 )

 

Step 4: Simplify

 

= n² (n+1) / 2

 

Step 5: Expand (optional)

 

= (n³ + n²) / 2

 

or

 

= ½ n³ + ½ n²

 

✅ Final Answer:

 

n^3  / 2 + n^2/ 2 

ويساوي

a_n = 0.5 n^3 + 0.5 n^2 

=========================================================================================

هناك من ينظر الى الشكل بنظرة متأملة ويقترح قانون الحد العام

الشكل الثالث

 

بالنظر الى الشكل من الأعلى الى الأسفل ويعد المكعبات يجدها

1(3) +2(3)+3(3)

1ن+2ن+3ن +.......

ن  ( 1+2+3+.........)

ن في مجموع ( 1+2+3+.........)

مجموع ( 1+2+3+.........)

يساوي

وعليه الحد العام

ن   ضرب  المقدار ويساوي

 

وبعد التبسيط يصبح المقدار

ويساوي

a_n = 0.5 n^3 + 0.5 n^2 

 

=========================================================================================

نظرة مختلفة

=========================================================================================

طريقة الفروق

حدود المتتالية

 1, 6, 18, 40, 75, 

 

الحد	القيمة	ف1	ف2	ف3
1	1	5	7	3
2	6
3	18	12
4	40	22	10
5	75	35	13
ن	؟

 

 

الخطوة 1: التحقق من درجة المتتالية باستخدام الفروق

 

1, 6, 18, 40,75 

 

 

الفرق الاول 

5, 12, 22, 35 

 

الفرق الثاني 

 

7, 10, 13 

 

الفرق الثالث 

 

   3 

الفرق الثالث ثابت

 ومقداره يساوي 3 

 

المتتالية من الدرجة الثالثة.

 

الخطوة 2: الصيغة العامة للمتتالية

 

a n^3 + b n^2 + c n +d

 

 1, 6, 18, 40, 75, 

 

الجدول

 

125a+25b+5c+d

64a+16b+4c+d

27a+9b+3c +d

8a+4b+2c+d

a+b+c+d

 

 

d1	61a+9b+c	37a+7b+c	19a+5b+c	7a+3b+c
d2	24a+2b	18a+2b		12a+2b
d3	6a

 

 

الحد	القيمة	ف1	ف2	ف3
1	1	5	7	3
2	6
3	18	12
4	40	22	10
5	75	35	13
ن	؟

 

   6a = 3 

12a+2b=7       

7a+3b+c=5

a+b+c+d=1

 

 1, 6, 18, 40, 75, 

 

 

 

 

الخطوة 3: استخدام 4 حدود لحل النظام

 

التعويض بواحد والمساواة بالحد الاول = 1

a + b + c + d = 1 

 

التعويض ب ٢ والمساواة بالحد الثاني = 6 

8a + 4b + 2c + d = 6 

 

الفرق بينهما

 

7a + 3b + c = 5 

 

التعويض بثلاثة والمساواة بالحد الثالث =18

 

27a + 9b + 3c + d = 18 

 

التعويض ب ٤ والمساواة بالحد الرابع= 40 

 

64a + 16b + 4c + d = 40 

بالطرح 

 

(2)−(1):

الفرق  بينهما
 

7a + 3b + c = 5 

معادلة رقم

 (5)

بالطرح 

(3)−(2):

 

19a + 5b + c = 12 

معادلة رقم 

 (6)

بالطرح 

(4)−(3)

 

37a + 7b+ c = 22 

معادلة رقم 

 (7)

 

(6)−(5)

الفرق بينهم

12a + 2b = 7 

معادلة رقم 

 (8)

 

(7)−(6)

 

18a + 2b = 10 

معادلة رقم 

 (9)

 

(9)−(8)

الفرق بينهم

الفرق الثالث في التعويض= الفرق الثالث في المتتالية

6a = 3 

 

 

نحصل على 

a = 0.5

 

من (8):

 

12(0.5) + 2b= 7 

 

يعني 

 6 + 2b = 7 

ومنها 

B = 0.5

 

من (5):

 

7(0.5) + 3(0.5) + c = 5 

 

3.5 + 1.5 + c = 5 

 

c = 0

 

من (1):

 

0.5 + 0.5 + 0 + d = 1 

 

d‎ = 0

 

الخطوة 4: الصيغة العامة

a = 0.5

B = 0.5

 

a_n = 0.5 n^3 + 0.5 n^2 

 

==================================================

 

 

 

 

 

 

بعض البرمجيات من الممكن الوصول  للقاعدة من مجرد النظر

عدد مربعات هذا الشكل يتبع قانون مجموع الأعداد المتتالية

وبالطريقة نفسها لو كانت مكعبات

الحد الخامس من 1 الى 5

الحد الرابع من 1 الى 4

في المتتالية

وحيث ان الشكل مكرر ن مرة فيكون المجموع تكرار المجموع السابق ن مرة

a_n = 0.5 n^3 + 0.5 n^2 

==================================================================================

 

 

 

 

 

1 + 3 + 5+7

قانون مجموع الأعداد الفردية

--------------------------------------------------------

واضح أن جميع الأشكال تحتوي على ثلاث مربعات في الطبقة السفية

كما ان قلب كل شكل هو المستطيل المبني فوق المربعات السفلية

في الشكل الأول مستطيل 1 في 3

في الشكل الثاني مستطيل 2 في 4

في الشكل الثالث مستطيل 3 في 5

وفوقه المربعات 1 و 2 و3 

  وهي تمثل ن

الوسط ( القلب)

فيها مستطيل بعداه

ن(ن+2)

 الصورة  العامة للمتتالية

ن(ن+2) + ن +3

بالتبسيط

ن2+3ن+3

  __________________________________________________

وبالنظر المتأمل في معظم المتتاليات يمكن الوصول الى القاعدة

الكل
الرابط	الرابط	الرابط	الرابط

مثال

الرابط

=========================================================

مثال

==============================================================

الرابط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

==========================================

**أنشطة حول المتتاليات **

مزيد من الأنشطة