برمجية القطع الهندسية

https://www.aghandoura.com/2030/APPLETS/TangramsNEW.htm

هي عبارة عن سبع قطع منها مثلثان متطابقان كبيران و مثلثان متطابقان صغيران ومثلث وسط بينهما، ومربع ، ومتوازي أضلاع ، وهذه القطع مصنوعة بشكل مميز بحيث يمكن تركيب أي قطعتين أو ثلاثة منها معا بحافة واحدة منطبقة على الأقل ، وجميع هذه المثلثات متطابقة الساقين وقائمة الزاوية، وهي مثلثات متشابهة .

مساحة المثلثات الكبيرة متساوية ، وهي تساوي مثلين من المثلثات المتوسطة .

مساحة المثلث المتوسط ، والمربع ومتوازي الأضلاع متساوية ، وهي تساوي مساحة مثلثين من المثلثات الصغيرة .

والمثلثين الصغيرين متساويين .

واجهة البرمجية الرئيسية

لاستخدام هذه البرمجية ما عليك إلا سحب القطعة المراد استخدامها ، ووضعها في أي مكان تحتاجه ، ويمكن تدوير القطعة مع أو عكس عقارب الساعة باستخدام الايقونة الخاصة بها ، كما يمكن نسخ وتكرار أي قطعه بالضغط على زر النسخ أما يمين أو يسار ، ويمكن تغيير لون أي قطعه للون الذي تريد من قائمة بعد تحديد القطعة واختيار اللون المطلوب ويمكن مسح القطعة التي تريد حذفها بعد تحديدها عن طريق زر ، ويمكن إعادة اللوحة لما كانت عليه باستخدام زر ، ولهذه البرمجية استخدامات كثيرة في مجال تدريس الرياضيات وسنعرض بعضاً منها .

أولاً : التصنيف :

نستطيع تدريس التصنيف للطلاب باستخدام البرمجية هذه فلو أردنا التصنيف كما يلي :

1-التصنيف حسب اللون :

فيصنف الطالب اللون الأصفر مع الأصفر ، والاحمر مع الأحمر والأخضر مع الأخضر والأزرق مع الأزرق ، ويمكن تغيير الألوان كذلك وطلب من الطلاب تصنيفها ، وتكرار أشكال أخرى .

2-التصنيف حسب الشكل :

فيصنف الطالب المثلثات مع بعض ، والمربع يبقى لوحدة ، ومتوازي الأضلاع كذلك .

3-التصنيف حسب عدد الأضلاع :

فيصنف الطالب الأشكال الرباعية مع بعض ، والأشكال الثلاثية مع بعض .

4-التصنيف حسب المساحة :

فيكون التصنيف ، المثلثان الكبيران معاً في مجموعة ، والمثلث المتوسط والمربع ومتوازي الأضلاع متساوية وتساوي مساحة مثلثان صغيران ويكونان في مجموعة واحدة ، اما المثلثان الصغيران فيكونان مع بعض .

ثانياً : خاصية التعدي :

نستطيع توضيح خاصية التعدي ، فنعرف أنه:

إذا كان أ > ب ، و ب> ج ، فإن : أ > ج

فتكون كالتالي :

فنعرض هذه المثلثات الثلاثة ، وبعدها نبين أن اللون الأحمر أكبر من الأصفر ، واللون الأصفر أكبر من اللون الأخضر ، فلو طلبنا من الطالب معرفة العلاقة بين الأحمر والأخضر ، فسينتتج مباشرة أنها الأحمر أكبر من الأخضر ، وهذه هي خاصية التعدي ، ويمكن توضيح عكس هذه باستخدام خاصية التعدي من الصغير إلى الكبير ، كما في الشكل :

ثالثاً : خاصية التكافؤ :

نستطيع باستخدام هذه البرمجية نوضح مفهوم التكافؤ ، فلو اختلفت الأشكال قد تكون لها نفس المساحة ، فنوضح هذه الفكرة كالتالي :

نعرض على الطلاب هذه الأشكال كما في الصورة :

ونسأل الطلاب عن أسماء الأشكال ، ثم نسأل هل المساحات متكافئة أو مختلفة ، ثم نبين لهم أنها متكافئة ، ونستخدم في ذلك المثلث الصغير كما في الشكل :

ويلاحظ الطالب أن المساحة واحدة فكل الأشكال تتكون من مثلثين صغيرين .

ونستطيع عرض مثالث أخر ، كما في الشكل :

نأخذ المثلث الكبير ، ونصنع شكل مركب أخر ونغير لونه ، ونسأل الطلاب هل المساحات متكافئة أو لا ، كما في الشكل :

فلو عرضنا هذين الشكلين ، وسألنا الطلاب نلاحظ أن الشكل الأول مثلث كبير أمام الثاني فهو شكل مركب من المربع ومتوازي الأضلاع وتم تلوينه باللون الأسود حتى يكون شكل واحد ، بعد عرضها ، الان نبين للأشكال أن كل شكل يتكون من أربع مربعات صغيرة كالتالي :

رابعاً :الأشكال الرباعية :

نستطيع باستخدام البرمجية توضيح الأشكال الرباعية وخواصها ، وهي كالتالي :

1-المربع :

لو أردنا شرح مفهوم المكعب للطلاب ، نعرض عليهم المكعب التالي ، ولابد أن يوضح للطلاب أن المكعب يبقى هو المكعب حتى لو أختلف وضعه لاعتقاد كثير من الطلاب أن المكعب لابد يكون بوضع واحد ولو عرض عليه بهذا الطريقة فيعتقد أنه معين ، فلابد في البداية توضح هذه الفكرة له ، وحتى نشرح المربع للطالب نعرضه كالتالي:
أولاً : نعرض شكل المربع ، ويمكن صنع أكثر من مربع بالنسخ والتكرار كالتالي :

ثانياً : نبدأ بعرض خاصية الأضلاع ونقارن أضلاع كل شكل منها . باستخدام المثلثات كالتالي :

نوضح للطلاب أن الضلع الأول يطابق الثاني يطابق الثالث ، يطابق الرابع باستخدام المثلث الصغير ، فيصل الطالب إلى أن الأضلاع متطابقة ، ثم نقارن الزوايا ، بنفس المثلث ونبين أن الزوايا الأربع قائمة كما في الخطوات الأربع المتتالية :

ومن هذا يعرف الطالب أن الشكل جميع أضلاعه متطابقة ، وجميع زواياه قائمة وهذا هو مفهوم المربع ، ونعمل نفس الخطوة مع المربعات التالية لترسيخ المفهوم .

كما يمكن توضيع خصائص المربع ، وهي أن الأقطار متطابقة ومتقاطعة في المنتصف .

وكذلك أن أقطار المربع متعامدة ، وهذا واضح من المثلثات المستخدمة في الأقطار جميعها قائمة الزاوية .

2-المستطيل :

نلاحظ أن القطع لا يوجد فيها مستطيل ، فنكون المستطيل عن طريق جمع مربعين أو أكثر ، ويمكن عمل مستطيل بالمثلثات كذلك ، أو استخدام اشكال أخرى ، كما يلي :

نستطيع تغيير اللون للون الأسود حتى يكون كشكل واحد ، كما يلي :

الان نبحث العلاقة بين زوايا المستطيل ، الأول بالتسلسل الاتي :

بعد أستعرض الزوايا يكتشف الطالب أن جميع الزوايا ، قائمة ، وهذا هو مفهوم المستطيل شكل رباعي جميع زواياه قائمة .

ويمكن توضيع خصائص أضلاعه كما يلي :

فنوضح أن الضلعين المتقابلين متطابقين ، ونفعل نفس الشيء مع الضلعين الأخرين كما يلي:

فنجد أن الضلعين متطابقين ، وبذلك يصل الطالب إلى أن كل ضلعين متقابلين في المستطيل متطابقين .

3-متوازي الأضلاع :

نستطيع باستخدام البرمجية توضيح مفهوم متوازي الأضلاع ، وذلك بعرض متوازي الأضلاع وتوضيح العلاقة بين أضلاعه ، ويمكن استخدام متوازي الأضلاع ، او تكوين متوازيات أضلاع مركبة باستعمال المثلثات كما كما يلي :

في متوازيان الضلعان المركبان نلاحظ أن الأضلاع المتقابلة متطابقة لأنها نفس المثلثات متشابهة ، وهذه زواياهم المتناظرة ، ونستطيع توضيح العلاقة بينهم كذلك ، ولو أردنا أن نوضح العلاقة بين الأضلاع في متوازي الأضلاع الأول كما يلي :

فيلاحظ الطالب أن الضلعين المتقابلين متطابقين ، ونفحص العلاقة بين الضلعين الأخرين ،كما يلي :

ونلاحظ أن الضلعين المتقابلين متطابقين ، ومن ذلك يستنتج الطالب أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متطابقين .

ويمكن توضيح العلاقة بين زوايا متوازي الأضلاع ، كما يلي :

نلاحظ أن الزاويتان المتقابلتان ، باستخدام نفس الزاوية وتدوير المثلث الأخضر ، هما زاويتان متطابقتان ، ونبحث العلاقة بين الزاويتان الأخرى ، كما يلي :

باستخدام متوازي أضلاع أخر نوضع العلاقة بين الزاويتان الأخرى وذلك بتدوير نفس الزاوية حتى تكن على الزاوية الاخرى فنجد انها متطابقة ، وبذلك يصل الطالب إلى خاصية زوايا متوازي الأضلاع ، وهي : أن كل زاويتان في متوازي الأضلاع متقابلتين هما متطابقتين .

4-شبة المنحرف :

يكن توضيح شبه المنحرف بتكوين أكثر من شكل كما يلي :

باستخدام المربع والمثلث ، كونا هذا الشكل وهو شبه منحرف ، ونلاحظ فيه أن يتكون من ضلعان متقابلان متوازيان وهذا يتضح من تعامدهم في المربع ، فيكون مفهوم شبة المنحرف هو شكل رباعي في ضلعان متوازيان فقط ، لأنه يتضح أن الضلعان الأخران غير متوازيان ،

ثم نوضح مسميات هذه الأضلاع ، فالضلعان المتوازيان يسميان قواعد القاعدة الأولى والقاعدة الثانية ، أما الأضلاع الغير متوازية تسمى ساقان,

ويسمى متوازي الأضلاع هذا متوازي أضلاع قائم الزاوية . ويمكن عرضه بشكل معتدل كما يلي :

ويمكن توضيح النوع الأخر من شبة المنحرف ، وهو شبة المنحرف متطابق الساقين كما يلي:

ويمكن تمثيلة بطريقة أخرى باستعمال متوازي الأضلاع ومثلث كما يلي :

ويفضل دائماً التنوع في عرض أي شكل حتى يزول اللبس لدى الطلاب ، وتعميق الفهم لديهم .

خامساً :نظرية فيثاغورث :

يمكن توضيح نظرية فيثاغورث كما يلي : .

1-نأخذ المثلث الصغير كما يلي :

2-ننشء مربعين على أضلاع المثلث المجاوران للزاوية القائمة كما يلي :

يمكن تلوين أحد المربعات ، حتى يميز الطالب هذه المربعات بعد تجميعها في الخطوة بعد التالية:

الان وضحنا للطالب مربع الضلع الأول ومربع الضلع الثاني ، وما نحتاج أن نوضحه للطالب أن مجموع هذين المربعين ، يساوي مربع الوتر ، ونجمعها على الوتر ونكون مربع وفق التسلسل الأتي :

وبذلك يتضح للطالب أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الأخرين ، كما وضح الشكل التالي :

ويمطن توضيحها بعد أستعرضها باستخدام المربعات كما يلي :

سادساً :أنواع الزوايا :

يمكن توضيح أنواع الزوايا القائمة والحادة والمنفرجة ، كما يلي :

1-الزاوية القائمة : وهي زاوية قياسها 90 ْ ، ونوضحها كما يلي :

نأخذ هذا المثلث ونريد توضيح الزاوية القائمة ، فباستخدام المربع يمكن مقارنة جميع الزوايا ، فنحن نعرف أن المربع جميع زواياه قائمة ، فنحدد أنواع زوايا أي شكل باستعمالها ، فأي زاوية تساوي زاوية المربع تسمى قائمة ، واذا كانت أقل منها تسمى حادة ، واكبر منها منفرجة ، ففي الشكل :نحددها كما يلي :

نلاحظ أن الزاوية منطبقة على زاوية المربع ، وتسمى زاوية قائمة ، كما يمكن تصنيف المثلث بحسب زواياه فنجد أن هذا المثلث اكبر زاوية فيه هي زاوية قائمة فيسمى مثلث قائم الزاوية .

2-الزاوية الحادة : وهي زاوية قياسها أقل من 90 ْ ، ويمكن توضيحها كما يلي :

لو أخذنا هذا الزاوية واردنا معرفة نوع الزاوية اليمنى ، نستطيع الحكم عليها باستعمال المربع بنفس الطريقة ، كما يلي :

نلاحظ أن الزاوية اقل من زاوية المربع ، إذاً هي أقل من 90 ْ فتمسى زاوية حادة .

3-الزاوية المنفرجة : وهي زاوية قياسها أكبر من 90 ْ ، ويمكن توضيحها كما يلي :

لو أخذنا الزاوية التالية في متوازي الأضلاع ، واردنا أن نحدد نوعها ، فتكون كما يلي :

وباستخدام المربع نجد أن الزاوية أكبر من 90 ْ ، كما يلي :

وهذه الزاوية هي أقل من 180 ْ ، ونستطيع توضيح ذلك باستخدام القطع المستقيمة كما يلي :

فهذه الزاوية اكبر من 90 ْ وأقل من 180 ْ ، فتكون زاوية حادة .

ثامناً :مجموع زوايا المثلث:

يمكن استنتاج العلاقة بين زوايا المثلث ، مجموع زوايا المثلث ، فلو أخذنا مثلث وكررناه ثلاث مرات وجمعنا زواياه نلاحظ أنها ستكون زاوية مستقيمة كما يلي :

لو أردنا معرفة مجموع زوايا المثلث ، نكرر هذا المثلث ثلاث مرات ،بالنسخ كما يلي :

ويمكن تمييز الزوايا باستعمال المثلثات الصغيرة وتغيير الوانها كما يلي :

الآن نجمع الزوايا الثلاثة معاً ، لنصل للنتيجة كما يلي :

نلاحظ أنها كونت زاوية مستقيمة أي زاوية قياسها 180 ْ ، وهذا يعني أن مجموع زوايا المثلث تساوي 180 ْ ، ويمكن توضيح انها زاوية خطية باستعمال خط مستقيم كما يلي

تاسعاً :الزوايا المتبادلة داخلياً:

يمكن توضيح الزوايا المتبادلة داخلياً ، وهي الزوايا الناتجة عن توازي مستقيمين ، كما في الشكل :

نلاحظ أن هذا المستقيمان متوازيان ,وذلك لأن كل ضلع منهم متعامد مع الضلع الأخر في المثلث ، والآن نريد أن نثبت أن الزوايا المتبادلة متطابقة ، ويمكن توضيحها كما يلي :

أولا: نستخدم المثلث ونثبت تطابق الزاوية الأولى مع الزاوية المناظرة لها وذلك بتدوير نفس الزاوية فنجها نفس القياس :

وبذلك تكون الزوايا المتبادلة داخلياً متطابقة ، كما يوضح الشكل التالي :

عاشراً :الزوايا المتناظرة :

يمكن توضيح المتناظرة كما في الشكل :

نلاحظ أن الزاويتان ، 1 و 2 ، ناتجه عن تقاطع متوازيان وقاطع ، حيث أ، المستقيمين هما مستقيمان في متوازي أضلاع فهما متوازي أضلاع ، هاتين الزاويتين تسمى زوايا متناظرة ، ويمكن إثبات العلاقة بينهم باستعمال المثلث كما يلي :

نلاحظ أن الزوايا المتناظرة متطابقة ، وذلك باستخدام نفس الزاوية في المثلث وتحريكها على الزاوية الاخرى ونجد أنها نفس الزاوية .

أحد عشر :نظرية طالس :

تقول نظرية طالس ، ان طول القطعة المستقيمة المجددة بمنتصفي ضلعي مثلث تساوي نصف طول الضلع الثالث ، وذلك مهما كان وضع المثلث .

ونستطيع توضيحها للطلاب بالطريقة التالية :

1-كون الشكل التالي ، باستعمال القطع الهندسية:

2-وضع خصائص هذا الشكل :

نلاحظ أن الضلعان في اليمين متطابقان وذلك بسحب ضلع متوازي الأضلاع ووضعه على ضلع المثلث يتضح أن الضلعين متطابقين ، وهذا يعني أن الضلع العرضي ينصف ضلع المثلث الأيمن .

وبنفس الطريقة مع الضلع الأيسر بهذا الشكل :

بسحب المثلث الأصفر ووضع ضلعه على ضلع المثلث الأزرق يتضح انهما متطابقان ، وهذا يعني أن المستقيم ينصف ضلع المثلث الكبير الأيسر .

ألان أثبتنا أن القطعة في المنتصف تنصف ضلعي المثلث كما في الشكل :

يتبقى لدينا أثبات أن طول القطعة في منتصف المثلث ( م س ) تساوي نصف الضلع الثالث ( ب جـ ) ، كما يلي :

بسحب ضلع المثلث باللون الأصفر وقياس طول الضلع الثالث كما في الشكلين بالتوالي نلاحظ :

نلاحظ أن طول ب جـ يساوي إثنين من م س ، وهذا يعني أن طول الضلع المنصف لضلعي المثلث يكون طوله نصف طول الضلع الثالث .

اثنى عشر :تشابه المثلثات :

يتشابه المثلثات إذا تطابقت زواياهم المتناظرة ، وتناسبت أضلاعهم المتناظرة .

وهناك حالات خاصة مثل حالة يتناسب المثلث إذا تطابقت الزوايا المتناظرة ، ولو أردنا توضيحها نستخدم الخطوات التالية :

1-أعرض المثلثين التاليين على الطلاب كما يلي :

نلاحظ أن المثلثين متشابهين ، ولو اردنا توضيح تشابههم نسحب المثلث الأخضر ونضع كل زاوية على الزاوية المناظرة لها فنجد أن الزوايا المتناظرة متطابقة كما يلي :

بعد توضيح كل زاوية مع الزاوية المناظرة لها ، يتضح أن الزوايا المتناظرة متطابقة ، وبالتي يكون المثلثان متشابهان .

لو أردنا معرفة نسبة الشبة نقارن كل ضلع مع الضلع المقارن له كما يلي :

نكرر المثلث الصغير من خيار ( نسخ ) ثم نقارن كل ضلع مع الضلع المقارن له كما في الأشكال التالية :

نلاحظ أن كل ضلع في المثلث الكبير يقابله أثنان من المثلث الصغير ، وبالتالي تكون نسبة الشبة بينهم 1 إلى 2 أو 1: 2 ونقول أن نسبة الشبة بين المثلثين النصف ، او نقول العكس أن نسبة المثلث الصغير إلى الكبير2: 1 الضعف .

ثلاثة عشر : العلاقة بين الارتفاعات في المثلثات المتشابهة:

إذا اردنا معرفة العلاقة بين الارتفاعات في المثلثات المتشابهة ، نبحث العلاقة باستخدام المثلثات المتشابهة التالية :

سبق أن تحققنا من تشابه المثلثين وعرفنا أن نسبة الشبة بينهم تساوي النصف ، ونجرب الآن الارتفاعات كما يلي :

نلاحظ أنه الارتفاع في المثلث الكبير يساوي أرتفاعين من المثلث الصغير ، وبذلك تكون النسبة بين الارتفاعين تساوي النصف ، وهي نفسها نسبة الشبة ، وبذلك يستنتج الطالب أن نسبة الارتفاعات هي نفسها النسبية الشبة.

مثال أخر :

نستطيع مثلثات اخرى بتجميع أكثر من مثلث ، كما في الشكل :

نلاحظ أنا صنع المثلث الصغير من مثلث واحد أصفر ، أما المثلث الكبير فكونها من 9 مثلثات صفرا ، وبالتأكيد أن المثلثين متشابهين وذلك لتطابق زواياهم المتناظرة ، ويمكن تلوين المثلث الكبير باللون الأسود عن طريق تلوين كل مثلث فيه ، ليكون كمثلث واحد ، كما يلي :

الان اصبح لدينا مثلثين ، ولو أردنا معرفة نسبة الشبة نطبق الخطوة السابقة بتكرار المثلث الأصفر كما يلي :

نلاحظ أن طول ضلع المثلث الكبير يساوي ثلاث أضلاع من الأضلاع المناظرة له في المثلث الصغير ، وبالتالي تكون نسبة الشبة بينهم ، الثلث ، الآن نتحقق من الارتفاعات كما يلي :

نلاحظ أن النسبة بين الارتفاعين ايضاً تساوي الثلث ، وهي نفسها نسبة الشبة .

أربعة عشر : العلاقة بين مساحتي المثلثات المتشابهة:

لاستنتاج العلاقة بين مساحات المثلثات المتشابهة وبعد معرفة نسبة الشبة كما في المثال التالي :

عرفنا أن المثلثين متشابهين كما عرفنا أن نسبة الشبة بينهم تساوي النصف وكذلك عرفنا أن العلاقة بين الارتفاعين في المثلثين تساوي النصف ، الان نبحث العلاقة بين مساحتيهم ، كما يلي :

بنسخ المثلث الأخضر ، وملء المثلث الأحمر الكبير بالمثلثات الصغير نلاحظ أنا احتجنا إلى أربع مثلثات لإكمال الشكل تماماً ، وهذا يعني أن مساحة المثلث الكبير تساوي اربعة من مساحة المثلث الكبير ، ومن هذا نستنتج ان :

إذا كانت نسبة الشبه النصف ، اصبحت العلاقة بين مساحتي المثلثين الربع .

ونأخذ مثال أخر للتحقق من هل العلاقة بين المساحتين بشكل أوضح ، فننشى المثلث الكبير من المثلث الصغير كما في المثال السابق :

لاحظنا سابقاً أن المثلثين متشابهين ، وعرفنا ان نسبة الشبه بينهم الثلث ، 1: 3 ، الأن نبحث العلاقة بين مساحتيهم ،كما يلي :

نلاحظ أن المثلث الكبير يتكون من 9 مثلثات صغيره ، وهذا يعني أن العلاقة بين المساحتين هي التسع أو 1: 9 ، ونلاحظ من المثالين السابقين :

أنه : في المثال الأول كانت نسبة الشبة 1: 2 ، وكانت العلاقة بين المساحتين 1: 4

و في المثال الثاني كانت نسبة الشبة 1: 3 ، وكانت العلاقة بين المساحتين 1: 9

وبذل نستنتج أن نسبة المساحة بين المثلثين ، تكون ضعف نسبة الشبة .

ومن هذه الخاصية نستطيع معرفة حل الكثير من العلاقات ، فإذا اعطاني نسبة الشبة ، استطيع الحصول على نسبة المساحة بتربيعها ، فاذا عرفنا مساحة احد المثلثات يمكن إيجاد الأخرى بتربيع مساحة المثلث الصغير أو اخذ جذر المثلث الكبير .

وكذلك إذا عرفنا نسبة المساحة نستطيع الحصول على نسبة الشبة بأخذ جذرها التربيعي ، وكذلك الحال بالنسبة للارتفاع .

خمسة عشر : العلاقة بين محيطي المثلثات المتشابهة:

إذا اخذنا المثلثين التاليين ، والذين عرفنا انهم متشابهين ، وعرفنا ان نسبة الشبة بينهم تساوي النصف ، كما عرفنا أن نسبة المساحة بينهم تساوي تربيع نسبة الشبة ، الان نبحث العلاقة بين محيطيهم ، كما يلي :

لو أردنا معرفة محيطيهم نعرف إذا فرضنا ان طول الأضلاع المتطابقة في المثلث الصغير تساوي واحد ، فيكون طول الضلع الثالث بتطبيق نظرية فيثاغورس يساوي جذر واحد كما يلي :

ونوجد محيطة كما يلي :

ومن نسبة الشبة نستطيع ايجاد اطوال الأضلاع في المثلث الأخر ، فعرفنا أن نسبة الشبة تساوي النصف ، فستكون الأضلاع بضرب كل ضلع في 2 لإيجاد الضلع المناظر له في المثلث الأخر وسنجدها ، كما يلي :

الآن نبحث العلاقة بين المحيطين كما يلي :

ولو قسمنا محيطي الشكل كما يلي :

نلاحظ أن العلاقة بين المحيطين هي النصف ، وهي نفس نسبة الشبه .

ستة عشر : تشابه المضلعات الرباعية :

لو أردنا معرفة توضيح تشابه الأشكال الرباعية فنفس طريقة المثلثات يمكن عمل مربعات أو مستطيلات باستخدام اكثر من مربع كما يلي :

نلاحظ أن الشكلين الاحمر والأصفر متشابهين وذلك لتطابق زواياهم المتناظرة فجميع الزوايا قائمة .

ولمعرفة نسبة الشبه نلاحظ أن كل ضلع في المربع الاحمر يساوي ضلعين في المربع الأصفر وبالتالي ستكون نسبة الشبة بينهم تساوي الضعف ،

ويتضح من الشكلين أن المربع الكبير يتكون من أربع مربعات صغيرة وهذا يعني نسبة المساحة بينهم تساوي ( 1 : 4 ) وهي مربع نسبة الشبة .فتكون العلاقة بين المساحة في المربعات هي مربع نسبة الشبة ، والعكس إذا اردنا معرفة نسبة الشبة ناخذ الجذر التربيعي للنسبة بين مساحتيهم

وكذلك النسبة بين المحيطين ، فنلاحظ أن محيط المربع الصغير يساوي 4 ، ومحيط المربع الكبير يساوي 8 ، وبالتالي تكون العلاقة بين محيطيهم هي النصف ( 1: 2) وهي نفسها نسبة الشبة .

مثال أخر :

في هذين المربعين ، نلاحظ أن نسبة الشبه بينهم تساوي ( 1: 3) لأن كل ضلع في المربع الصغير يساوي ثلاثة في المربع الأخر .

ونلاحظ أن المربع الكبير يتكون من 9 مربعات من المربع الصغير ، وبالتالي تكون العلاقة بين مساحتيهم تساوي ( 1: 9) وهي تربيع نسبة الشبة .

ولمعرفة العلاقة بين محيطيهم ، نلاحظ أن المربع الصغير محيطة يساوي ( 4) ومحيط المربع الكبير يساوي (12) وبقسمتهم على بعض نجد أن العلاقة بينهم تساوي ( 1: 3) وهي نفسها نسبة الشبة .

مثال آخر :

في الشكلين نلاحظ ان المستطيلين متشابهين لان جميع زواياهم قائمة واضلاعهم متناسبة ، ولمعرفة نسبة الشبة ، نلاحظ أن الضلع الواحد في المستطيل الصغير يقابله أثنين في المستطيل الكبير ، والضلعين في المستطيل الصغير يقابلهم اربعة في المستطيل الكبير ، وبالتالي تكون نسبة الشبة هي ( 1: 2) النصف .

والعلاقة بين مساحتيهم واضح أن المستطيل الصغير يتكون من مربعين أي ان مساحته 2 ، بينما المستطيل الكبير مساحته تساوي 8 ، وبقسمتهم على بعض تكون نسبة المساحتين تساوي ( 1: 4) وهي تربيع نسبة الشبة .

والعلاقة بين المحيطين ، نلاحظ ان محيط المستطيل الصغير يساوي 6 ، ومحيط المستطيل الكبير يساوي 12 ، وبقسمتهم على بعض نجد أن نسبة المحيطين تساوي ( 1: 2) وهي نفسها نسبة الشبة .

ثمانية عشر : نظرية رياضية :

تقول النظرية : إذا كان لدينا مستطيل ورسمنا مثلث قاعدته هي أحد أضلاع هذا المستطيل ، ورأس المثلث يقع على ضلع المستطيل الثاني المقابل له ، فإن مساحة هذا المثلث تساوي نصف مساحة المثلث .

نستطيع توضيح هذه النظرية كما يلي :

نلاحظ أن لدينا مستطيل ، وداخل هذا المستطيل مثلث ضلع المثلث الأسفل هو ضلع المستطيل ، ورأس المثلث يقع على ضلع المستطيل المقابل له ، ولتوضيح بشكل أوضح كما يلي :

الان النتيجة ، ان مساحة هذا المثلث هي نصف مساحة المستطيل ، ونستطيع اثباتها كما يلي :

نأخذ المثلث الأحمر الكبير ، ونعمل له دوران ونضعه بالشكل التالي :

ثم نأخذ المثلث الاصفر وبنفس الطريقة

نلاحظ أن المستطيل يتكون من مثلثين من نفس المثلث المرسوم في المنتصف في القاعدة ، وهذا يعني أن مساحة المثلث هي نصف مساحة المستطيل .