النسبـــــــة :

 

 

     وإضافة للمعنى الأخير للكسر هناك معنى ثالث للكسر حيث يمكن استخدام الكسر للتعبير عن مقدارين مختلفين أو كميتين أو عُمرين . وفي هذه الحالة يعبّر البسط عن المقدار الأول ، والمقام يعبّر عن المقدار الثاني وهو ما يُعرف بالنسبة .

 

        فعلى سبيل المثال إذا كان لديك مقدار من المال ومع أخيك مقدار آخر فإنه يمكن التعبير عن ما لدى أحدكما بالنسبة للآخر باستخدام الكسور على النحو التالي :

        يملك أحمد 10 ريالات بينما يملك علي 20 ريالاً فما نسبة ما يملكه أحمد بالنسبة لما يملكه علي ؟

                أحمد   10

                علي    20

واضح أن لدى أحمد نصف ما لدى علي ويمكن التعبير عن هذا الكسر :

 

        وباختصار الكسر وتبسيطه نحصل على :  

 

        ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي :

                      

 

وحيث إن لدى علي ضعف ما لدى أحمد فإنه يمكن كتابة ذلك بضرب الطرفين الوسطين أي أن :

        2 أحمد      = 1 علي

كما يمكن الإبدال قطرياً على النحو التالي :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

التناسب الطردي :

        إذا علمنا أن النسبة بين ما يملكه أحمد إلى ما يملكه علي هي النصف وعلمنا كذلك المبلغ الذي يملكه أحدهما فإنه من الممكن معرفة ما يملكه الآخر . ويمكن معرفة ذلك حتى لو تغيرت النسبة . فعلـى سـبيل المثال إذا كانت النسـبة بين ما يملكـه أحمد إلى ما يملكه علي هي   وكان مع أحمد 1200 ريال فكم يكون مع علي ؟

 

                أحمد     =    وحيث إن ما يملكه أحمد هو 1200 فإن

                علي

  


 

من المعادلة :  4 1200 = 3 علي  أي  1600 ريال

 

كما يمكن معرفة ذلك باستخدام خاصية التبادل على النحو التالي :

  


 

 

        وحيث إن حاصل قسمة 1200 3 = 400 يكون نصيب علي أربعة أضعاف هذا المقدار أي 1600 .

 

        مثل هذا النوع من التناسب يُسمى التناسب الطردي لأن زيادة أحد المقدارين يترتب عليها زيادة المقدار الآخر . فعلى سبيل المثال :

        عندما كان نصيب علي 1600 كان نصيب أحمد 1200

        فكم يكون لدى علي إذا كان لدى أحمد 6000 ريالاً مثلاً ؟

        حيث إن زيادة ما مع أحمد يترتب عليها زيادة ما مع علي فإن هذا التناسب يسمى تناسباً طردياً ويمكن حله وإيجاد الناتج باستخدام الطرق السابقة مثل الإبدال أو أو ضرب الطرفين في الوسطين .

أمثلة على التناسب الطردي :

      ثلاثة عمال أُجرهم 1500 ريال ، فكم أجرة 35 عامل ؟

      تستهلك عائلة 10 كيلو دقيق في 30 يوماً ، فكم يوماً يكفيها 70 كيلو من الدقيق ؟

      يقرأ أحمد عشرون صفحة في 3 ساعات ، فكم صفحة يقرأ في 9 ساعات ؟

      7 كيلو موز بـ 24 ريالاً ، فكم كيلو من الموز يمكن شراؤه بمبلغ 120 ريالاً ؟

 

التناسب العكسي :

    هناك نوع آخر من التناسب تكون فيه الزيادة في جانب يترتب عليها النقص في الجانب الآخر . فعلى سبيل المثال :

 

        ينهي 10 عمال عملاً معيّناً في 7 أيام ، ففي كم يوماً ينهي خمسة عمال العمل نفسه؟

في مثل هذا الوضع هل نحتاج إلى أكثر من سبعة أيام أم أقل ؟

لعلك لاحظت أن عدد العمال نقص مما يعني أن مدة العمل ستطول عن سبعة أيام ، فهل تعرف كم يوماً يحتاج هؤلاء العمال الخمسة لإنهاء العمل نفسه ؟

 

        10 عمال              7 أيام

        5  عمال               ؟  يوم

 

        بالمثل يمكن وضع هذا التناسب في الصورة التالية  :

              

        إلا أن حاصل ضرب الطرفين في الوسطين كما كان الحال سابقاً في حالة التناسب الطردي لا يكون منطقياً حيث إن :  10         = 5 7

 

        أي أن        وهو عدد الأيام =         =  3.5  يوماً .

 

        وبالتالي فإن الجواب المنطقي لمثل هذا السؤال هو أنه طالما نقص العدد إلى النصف فلابد من زيادة المدة إلى الضعف أي :

 

                7  10  =  5             

                        = 14

 

أمثلة في التناسب العكسي :

      تقطع سيارة مسافة معينة بسرعة 60كم/ساعة في زمن قدره 50 دقيقة ، فإذا أراد السائق قطع المسافة نفسها بسرعة 120 كم /ساعة ، فما هو الزمن اللازم له لقطع المسافة ؟

      10 عمال لديهم مؤونة تكفيهم 7 أيام ، فإذا زاد عدد العمال فهل تزيد المدة أم تقل ؟

      10 عمال لديهم طعام يكفيهم 7 أيام فإذا نقص عدد العمال عشرة فكم يوماً يكفيهم الطعام ؟

      يحرث مزارع أرضه باستخدام 3 ماكينات  في 12 يوماً ، فكم ماكينة حرث يحتاج ليحرث الأرض في 3 أيام ؟

 

تمارين :

      عند قسمة عدد معين على 3 أو 4 أو 6 يكون الباقي دائماً خمسة ، أما إذا قسمنا العدد نفسه على 15 فلا يبقى شيء . ما هو هذا العدد إذا علمت أنه أقل من مئة ؟

 

      عدد إذا قسمناه على 3 أو 6 أو 9 يبقى دائماً اثنين أما إذا قسمناه على 7 فلا يبقى شيء ، فما هو هذا العدد إذا علمت أنه أقل من مئة ؟

      صاحب مخطط أراضي باع في الأسبوع الأول ربع المخطط ، وفي الأسبوع الثاني ثلث ما بقي من أراضي المخطط ، وفي الأسبوع الثالث باع نصف ما تبقى من أراضي المخطط ، وفي الأسبوع الرابع باع العشرة قطع الأخيرة لديه .  فكم عدد قطع المخطط التي كانت لديه ؟

      مصنع للحليب يستغرق  دقيقة لتعبئة ليتر الحليب . فكم ليتراً يتم تعبئته في 4 ساعات ؟

      على سيارة نقل الماء مضختين لضخ الماء إلى المنازل . فإذا كان الأول بإمكانه أن يفرغ صهريج السيارة في 20 دقيقة ، وكان الآخر بإمكانه أن يفرغ الصهريج نفسه في 30 دقيقة فإذا عملت المضختان معاً ففي كم دقيقة يمكنهما معاً أن يفرغا الصهريج ؟

      استهلكت سيارة  البنزين في قطع  المسافة المقصودة ، فهل ما تبقى من بنزين يكفي ما تبقى من المسافة ؟

      أوجد عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها استخدام الأعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 7 داخل المربعات لتصبح المعادلة التالية صحيحة :

                                                                  p            p

                                                                ---      =     ----    p

                                 p              p  

 مع ملاحظة إمكانية تكرار الرقم داخل المربعات وأن يكون البسط والمقام في العدد الكسري في أبسط صورة .