جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

قطع النماذج

إذا كان الشكل السابق يمثل الوحدة فإن القطعة الصفراء تمثل النصف وقطعتين زرقاء تمثل الثلث والقطعة الحمراء تمثل الربع والقطعة الزرقاء تمثل السدس والقطعة الخضراء تمثل

1

4

1

2

+

يمكن واستبدال القطعة الصفراء بقطعتين حمراء يصبح لدنيا ثلاث قطع حمراء أي ثلاث أرباع + =

و +

باستبدال القطع الزرقاء بقطعتين خضراء واستبدال القطعة الحمراء بثلاث قطع خضراء يصبح لدينا 5 قطع خضراء أن وعليه فان

+

+ =

+ نلاحظ أن الثلث يتكون من قطعتين زرقاء أي وباستبدال القطع الصفراء بثلاث قطع زرقاء أي

وهو ما يعني أن

+ =

إما إذا كانت القطعة الصفراء تمثل الوحدة فإنه

+

يمكن استبدال القطعة الحمراء بثلاث قطع خضراء أي واستبدال القطعة الزرقاء بقطعتين خضراء أي

+ =

ولذلك لكي نجمع كسرين مختلفين في المقام نحو لهما إلى كسرين مكافئين لهما على أن يكون مقامهما مشترك ثم نجمع الكسرين الحاصلين .

قطع كوزينير

إذا كانت القطعة الخضراء الغامقة تمثل الوحدة فإن القطعة الخضراء الفاتحة تمثل النصف والقطعة الحمراء تمثل الثلث وبإمكننا جمع +

بوضع قطعة خضراء فاتحة وأخرى حمراء فوق قطعة خضراء غامقة

وباستخدام القطع البيضاء نقيس طول القطعتين العليا والقطعة السفلي حيث نجد النسبة بينهما هي

:. + =

المكعبات المتداخلة :

لجمع +

تقوم ببناء مستطيل مكون من 12 مكعباً (أبعاده مقام الكسرين) نلاحظ أن 4 مكعبات تمثل الثلث وأن 3 مكعبات تمثل الربع وعليه فإن سبع مكعبات من المستطيل تمثل الثلث و الربع معاً أي أن

+ =

ولو أردنا جمع +

نكون مستطيل إبعاده مقام الكسرين أي 3 × 5

نلاحظ أن كل صف يتكون من 5 مكعبات ويمثل الثلث وعليه فإن الثلثين عشر مكعبات وأن العمود يتكون من 3 مكعبات ويمثل الخمس أي أن

+

+ =

وعند جمع + نقوم ببناء مستطيل ابعاده مقام الكسرين نلاحظ أن الخمس يتكون من 3 مكعبات وعليه فإن ست أخماس 18 مكعب بالإضافة إلى 5 مكعبات التي تمثل الثلث ليصبح لدينا 23 مكعب وهي تغطي المستطيل وتزيد 8 مكعبات

+ =

+ =

الميزان الحسابي :

لجمع +

يتم تمثيل الثمن بوضع ثقل واحد على المشجب الذي يمثل الثمن من الذراع الأيمن ، وتمثيل الكسر الثاني بوضع ثقل على المشجب الذي يمثل النصف من الذراع الأيمن ، وبالبحث عن المشجب في الذراع الأيسر الذي نضع عليه ثقل واحد وبعيد التوازن نجد أنه المشجب الذي يمثل خمسة أثمان ( )

1 1 1 1

5

4

9

8

7

8

3

4

5

8

1

2

3

8

1

4

1

8

1

8

1

4

3

8

1

2

5

8

3

4

7

8

1

8

1

4

1

1

1

أما عملية جمع + فتتم بنفس الطريقة السابقة بتمثيل الكسر الأول والثاني كالتالي:

بوضع ثقل على كل من المشجب الذين يمثلان و من الذراع الأيمن ، ثم البحث عن مشجب في الذراع الأيسر الذي يعيد التوازن ، وحيث لا يمكن تحقيق ذلك بثقل واحد مما يعني أن المجموع أكبر من الواحد ، لذلك نضع ثقل على المشجب الذي يمثل الواحد ونبحث عن مشجب أخر نضع عليه ثقلاً ثانياً . ويعيد التوازن وبالبحث نجد انه ذلك المشجب الذي يمثل الثلاثة أثمان وعليه فإن

+ =

1 1 1 1

5

4

9

8

7

8

3

4

5

8

1

2

3

8

1

4

1

8

1

8

1

4

3

8

1

2

5

8

3

4

7

8

1

8

1

4

1

1

1

1

اللوحة الهندسية :

نلاحظ أن الشكل السابق يتكون من 4 مثلثات صغيرة متطابقة تشكل المثلث الكبير ، وعليه فإن كل مثلث صغير يمثل ربع المثلث الكبير, وأن المثلثين معاً يمثلان نصف المثلث الكبير ويشكلان متوازي أضلاع أو معين وأن 3 مثلثات تمثل المثلث الكبير وتشكل شبه المنحرف .

ولذا نلاحظ أن متوازي الأضلاع أو المعين مع مثلث يشكل شبه منحرف وهو ما يعني أن :

+ =

وأن شبه المنحرف مع متوازن أضلاع يشكل المثلث الكبير بالإضافة إلى زيادة مثلث صغير مما يعني أن :

+ = =

اللوحة الدائرية :

لجمع +

تقوم بتقسيم الدائرة إلى أربعة جزء وعليه نلاحظ أن النصف يتكون من ربعين :

+

+ =

ولجمع + نقوم بتقسيم الدائرة إلى ثمانية أجزاء لنجد

ان النصف يتكون من أربعة أثمان :

+ =