المضاعفات والمضاعف المشترك الأصغر

الأهداف :

1. أن يستخدم الطالب المكعبات المتداخلة لإيجاد عدد معين من مضاعفات عدد ما

2. أن يستخدم الطالب المكعبات المتداخلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر

3. أن يستخدم الطالب قطع كوزينير لإيجاد عدد معين من مضاعفات عدد ما

4. أن يستخدم الطالب قطع كوزينير لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر

5. أن يستخدم الطالب الميزان الحسابي لإيجاد عدد معين من مضاعفات عدد ما

6. أن يستخدم الطالب الميزان الحسابي لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر

7. أن يستخدم الطالب اللوحة الهندسية لإيجاد عدد معين من مضاعفات عدد ما

8. أن يستخدم الطالب اللوحة الهندسية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر

9. أن يستخدم الطالب مكعبات دينز لإيجاد مضاعفات العشرة ومضاعفات المئة

الوسائل التعليمية :

المكعبات المتداخلة – قطع كوزينير – الميزان الحسابي –مكعبات دينز – اللوحة الهندسية - مذكرة الوحدة الدراسية المقترحة - السبورة

العرض :

يستخدم الأطفال فكرة المضاعف عندما يبدأون في التفكير في الجمع المتكرر والضرب ,

فمثلا كل من الأعداد 10,8,6,4,2,مضاعفات العدد اثنين وبالمثل 12,9,6,3 مضاعفات العدد 3

المكعبات المتداخلة

يمكن إيجاد عدد من مضاعفات عدد معين باستخدام المكعبات المتداخلة ببناء مستطيلات مختلفة على أن يكون احد بعدي كل مستطيل هو العدد المطلوب إيجاد مضاعفاته والبعد الآخر يمثل رقم المضاعف ( أي المضاعف الأول والثاني وهكذا )للعدد المطلوب إيجاد مضاعفاته بينما عدد المكعبات تمثل المضاعف

فالمضاعف الرابع للعدد 3 هو مستطيل احد بعديه 4 والآخر 3 وبالتالي يتكون من12 مكعب أي أن المضاعف الرابع للعدد 3 هو 12

ولإيجاد المضاعفات الأربعة الأولى للعدد 3 نبني مستطيلات مختلفة على أن يكون احد بعدي المستطيل 3 مكعبات والبعد الآخر (4,3,2,1) يمثل رقم المضاعف وعدد المكعبات في كل مستطيل تمثل المضاعف على النحو التالي

3×1 3×2 3×3 3×4

فالمضاعف الأول 3×1=3 مكعبات

والمضاعف الثاني 3×2=6 مكعبات

والمضاعف الثالث 3×3=9 مكعبات

والمضاعف الرابع 3×4=12 مكعب

مضاعفات العدد 3 هي 12,9,6,3

وبالمثل يمكن إيجاد مضاعفات العدد 4 كالتالي

4×1 4×2 4×3 4×4

مضاعفات العدد 4 هي 16,12,8,4

المضاعف المشترك الأصغر

يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر باستخدام المكعبات المتداخلة بإيجاد عدد من المضاعفات الأولى لكل عدد حتى يتم الحصول على مضاعف مشترك, فلإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5,3

يتم إيجاد مضاعف العدد 3 على النحو التالي

3×1 3×2 3×3 3×4

3×5

مضاعف العدد 3 هو 15,12,9,6,3

وبالمثل مضاعفات العدد 5 هي 5×1 5×2 5×3

هي 15,10,5

ومنه المضاعف المشترك الأصغر للعددين هو 15

قطع كوزينير

يمكن إيجاد عدد من مضاعفات عدد معين باستخدام قطع كوزينير عن طريق بناء قطار بالقطع (القطعة) التي تمثل طول العدد المراد إيجاد مضاعفاته وعدد القطع المستخدمة تمثل رقم المضاعف للعدد المعين بينما طول القطار يمثل المضاعف. فمثلا لإيجاد المضاعفات الأولى للعدد 2 نستخدم القطعة الحمراء فقط ونبني بها قطار على النحو التالي

نلاحظ عند استخدام قطعة واحد كان طول القطار 2 ومنه المضاعف الأول للعدد 2 هو 2 وعندما أضفنا إليه قطعه أخرى أي أصبح قطعتين فان طول القطار 4 ومنه المضاعف الثاني للعدد 2 هو 4 وبالمثل المضاعف الثالث للعدد 2 هو 6 والمضاعف الرابع هو 8 مضاعفات العدد 2 هي 8,6,4,2

المضاعف المشترك الأصغر

يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر عن طريق بناء قطارات من هذه القطع التي تمثل أطوال الأعداد حتى تتساوى القطارات, وعندها يكون هذا القطار المضاعف المشترك الأصغر للأعداد, فمثلا يمكن معرفة المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5,4 على النحو التالي

بوضع القطعتين التي تمثلان العددين تحت بعضهما حيث القطعة الصفراء تمثل الخمسة بينما البنفسجية تمثل الأربعة

ثم نضيف إلى القطار الأقصر قطعة من نفس اللون (الطول)

وهكذا نستمر في إضافة قطعة من نفس اللون إلى القطار الأقصر

وعند تساوي القطارين يكون المضاعف المشترك الأصغر لهما هو القطار الذي يحدد إما بالوحدات او بقطعتين برتقاليتين

ومنه فان 20 هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5,4

الميزان الحسابي

يمكن استخدام الميزان الحسابي لشرح مضاعفات العدد فلإيجاد المضاعف الرابع للعدد 5 يتم وضع 4 أثقال على المشجب رقم 5 من الذراع الأيمن وتم إعادة التوازن بوضع ثقلين على المشجب رقم 10 من الذارع الأيسر حيث يمثل رقم المشجب في الذراع الأيمن العدد المراد إيجاد مضاعفاته وعدد الأثقال (رقم المضاعف) والعدد الذي يمثله الذراع الأيسر يمثل المضاعف المطلوب وهو 20

وبالمثل المضاعف الثالث لعدد 5 هو 15

والمضاعف الثاني هو 10

والمضاعف الأول هو 5

المضاعفات الأربعة الأولى للعدد 5 هي 20,15,10,5

المضاعف المشترك الأصغر

يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر باستخدام الميزان الحسابي بإيجاد عدد من المضاعفات الأولى لكل عدد حتى نحصل على مضاعف مشترك بينهم

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4,3

يتم إيجاد مضاعف العدد 3 على النحو التالي

يتم إيجاد المضاعف الأول بوضع ثقل على المشجب رقم3 من الذراع الأيمن وإعادة التوازن بوضع ثقل على المشجب رقم 3 من الذارع الأيسر ومنه المضاعف الأول للعدد 3 هو 3

والمضاعف الثاني يتم بوضع ثقلين على المشجب رقم 3 من الذارع الأيمن ويتم إعادة التوازن بوضع ثقل على المشجب رقم 6 من الذراع الأيسر ومنه المضاعف الثاني للعدد 3 هو 6

وبالمثل يوجد المضاعف الثالث وهو 9 والمضاعف الرابع هو 12 وبنفس الطريقة يوجد مضاعفات العدد 4 وبما أن مضاعفات العددين على النحو التالي

مضاعفات العدد 3 هي 12,9,6,3

ومضاعفات العدد 4 هي 12,8,4

المضاعف المشترك الأصغر للعددين هو 12

شكل يوضح المضاعف الثالث للعدد 3 وهو 9

اللوحة الهندسية

ويمكن استخدام اللوحة الهندسية لتمثيل عدد من المضاعفات لعدد معين, فالمضاعف الأول للعدد 3 يتمثل بتكوين مستطيل 3×1 والمضاعف الثاني 3×2 والمضاعف الثالث 3×3 والمضاعف الرابع 3×4 كما يلي

3×1 3×2

3×3 3×4

وبالمثل يمكن إيجاد مضاعفات العدد 2بالمثل

2×1 2×2

2×3 2×4

وبمقارنة الأشكال السابقة يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينهما وهو العدد 6

ومن الممكن تكوين مضاعفات العدد 3والعدد2 في لوحة واحده كما يلي

ومن هذه اللوحة عدد المربعات المشتركة بين مضاعفات العدد 3ومضاعفات العدد2 تمثل المضاعف المشترك الأصغر بينهما وهو 6 مربعات

مكعبات دينز

يمكن استخدام الوحدات من مكعبات دينز لإيجاد مضاعفات عدد بنفس طريقة المكعبات المتداخلة أما مضاعفات العشرة فيمكن تمثيلها بالأصابع فالمضاعف الأول للعشرة يمثل بإصبع