نظرية العدد

نظرية العدد فرع قديم جداً من فروع الرياضيات وتبنى على العمليات الأساسية وتتضمن أنماطاً وعلاقات بين الأعداد .

ومن المفيد للمعلمين أن يكونوا ملمين ببعض الأفكار عن نظرية العدد مثل القواسم والمضاعفات والأعداد الأولية وغيرها

وسوف ندرس:

القواسم والقاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر

المضاعفات والمضاعف المشترك لعددين أو أكثر

الأعداد الأولية

والأعداد الزوجية والأعداد الفردية

مجموع عددين زوجين

مجموع عددين فرديين

مجموع عددين احدهما فردي والآخر زوجي

القواسم والقاسم المشترك الأكبر

الأهداف :

1 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام المكعبات المتداخلة

2 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام المكعبات المتداخلة

3 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام قطع كوزينير

4 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام قطع كوزينير

5 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام الميزان الحسابي

6 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام الميزان الحسابي

7 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام اللوحة الهندسية

8 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام اللوحة الهندسية

9 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام مكعبات دينز

10 - أن يوضح الطالب كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام مكعبات دينز

الوسائل التعليمية :

المكعبات المتداخلة – قطع كوزينير – الميزان الحسابي –مكعبات دينز – اللوحة الهندسية - مذكرة الوحدة الدراسية المقترحة - السبورة

العرض :

المكعبات المتداخلة

يمكن دراسة قواسم العدد بطريقة ملموسة باستخدام المكعبات المتداخلة وذلك عن طريق بناء مستطيلات مختلفة بعدد من المكعبات تساوي العدد المراد إيجاد قواسمه وتسجيل بعدي المستطيل كل مرة حيث ان أبعاد المستطيلات المتكونة هو قواسم العدد

فلإيجاد قواسم العدد 6 تستخدم 6 مكعبات لبناء اكبر عدد ممكن من المستطيلات وتسجيل بعدي المستطيل في كل مرة

نلاحظ أننا نستطيع بناء مستطيلين أبعادهما

( 1×6)

( 2×3)

فالعدد 6 قواسمه هي 6,3,2,1

مع ملاحظة ان المستطيل ( 2×3) هو نفسه المستطيل ( 3×2) وللتأكد يمكن مقارنتهما بوضع أحدهما

فوق الآخر

بالمثل تستخدم 12 مكعبا لإيجاد قواسم العدد 12 وذلك ببناء اكبر عدد ممكن من المستطيلات المختلفة على النحو التالي

( 1×12)

2 ×6 3 ×4

اذا أبعاد المستطيلات السابقة هي

( 1×12) ( 2× 6) ( 3×4)

قواسم العدد 12 هي 12,6,4,3,2,1

القاسم المشترك الأكبر

يمكن إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام المكعبات المتداخلة وذلك عن طريق إيجاد قواسم كل عدد, ومن ثم تحديد القواسم المشتركة بينهم وتحديد القاسم المشترك الأكبر بينهم

فمثلا لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 6 , 9

نوجد قواسم العدد 6 ببناء اكبر عدد ممكن من المستطيلات من 6 مكعبات وتسجيل بعدي المستطيل في كل مرة

( 1×6) ( 2×3)

نلاحظ ان قواسم العدد 6 هي 6,3,2,1

وبالمثل بالنسبة للعدد 9 حيث نقوم ببناء المستطيلات التالية

(1 × 9) (3× 3)

ومنه قواسم العدد 9 هي 9,3,1

القواسم المشتركة بين العددين هي3,1

والقاسم المشترك الأكبر للعددين 3

قطع كوزينير

يمكن إيجاد قواسم عدد معين باستخدام قطع كوزينير بتغطية هذا العدد بأطوال مختلفة تغطية كاملة بدون أي باق على أن يتم استخدام نفس الطول في كل مرة

فلإيجاد قواسم العدد 8 نلاحظ أن القطعة البنية تمثل العدد 8 ونبحث عن القطع التي تغطي القطعة البنية تغطية كاملة بدون باقي على أن يستخدم في كل مرة نفس القطعة, حيث يمثل عدد القطع وطول القطعة قاسم للعدد 8

نلاحظ انه تمت تغطيتها بقطعه بنية

إذن 8,1 قواسم للعدد 8

وتمت تغطيتها بقطعتين بنفسجية (حيث طول القطعة البنفسجية يساوي 4)

إذن 4,2 قواسم للعدد 8

وتمت تغطيتها بأربع قطع حمراء (حيث طول القطعة الحمراء يساوي 2)

ومنه 4,2قواسم للعدد 8

وتم تغطيتهما بثمان قطع بيضاء (حيث طول القطعة البيضاء يساوي 1)

أي8,1قواسم للعدد

ويمكن ان نكتفي بذكر طول القطعة دون العدد ومنه نلاحظ ان قواسم العدد هي 8,4,2,1

القاسم المشترك الأكبر

بمكن إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر عن طريق تغطية القطعة التي تمثل طول العدد المراد إيجاد قواسمه بأطوال مختلفة وذلك لإيجاد قواسمه, ومن ثم القواسم المشتركة ثم تحديد القاسم المشترك الأكبر

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 9,6نقوم بتغطية كل منهما على النحو التالي

وعليه فقواسم العدد 9 هي 9,3,1

وقواسم العدد 6 هي 6,3,2,1

القواسم المشتركة بينهما هي 3,1

القاسم المشترك الأكبر للعددين هو 3

الميزان الحسابي

ويمكن دراسة قواسم العدد باستخدام الميزان حيث يمثل العدد الذي نريد إيجاد قواسمه على الذراع الأيمن من الميزان أما قواسم العدد فهي رقم المشجب وعدد الأوزان المعلقة عليه التي تعيد الميزان إلى حالة التوازن شريطة وضع الأوزان على مشجب واحد

فلإيجاد قواسم العدد 6

يتم تمثيل العدد 6 بوضع ثقل واحد على المشجب رقم 6 في الذراع الأيمن

نبحث عن المشاجب في الذراع الأيسر التي نضع عليها ثقلا او أكثر وتعيد الميزان إلى حالة التوازن شريطة وضع الأوزان في كل مرة على مشجب واحد فقط, ونلاحظ انه يوجد اكثر من مشجب يحقق التوازن حيث ان رقم المشجب وعدد الأثقال عليه تمثل قواسم للعدد 6 وهي الحالات التالية

6 أثقال على المشجب رقم 1

3 أثقال على المشجب رقم 2

ثقلين على المشجب رقم 3

ثقل واحد على المشجب رقم 6

الحالة الأولى : إعادة التوازن بستة أثقال على المشجب رقم 1 في الذراع الأيسر

6 أثقال على المشجب رقم 1

الحالة الثانية : إعادة التوازن بثلاث أثقال على المشجب رقم 2 في الذراع الأيسر

3 أثقال على المشجب رقم 2

الحالة الثالثة : إعادة التوازن بثقلين على المشجب رقم 3 في الذراع الأيسر

ثقلين على المشجب رقم 3

الحالة الرابعة : إعادة التوازن بثقل على المشجب رقم 6 في الذراع الأيسر

ثقل واحد على المشجب رقم 6

القاسم المشترك الأكبر

يمكن إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام الميزان وذلك بتمثيل العدد المراد إيجاد قواسمه على الذراع الأيمن من الميزان أما قواسمه فهي رقم المشجب وعدد الأوزان المعلقة عليه التي تعيد الميزان إلى حالة التوازن شريطة وضع الأوزان على مشجب واحد

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 10,15

يتم تمثيل 15 بوضع ثقل واحد على المشجب رقم 5 في الذراع الأيمن وآخر على المشجب رقم 10 من الذراع نفسه . يتم إعادة الميزان إلى حالة التوازن كالتالي

15 ثقلا على المشجب رقم 1 في الذراع الأيسر

5 أثقال على المشجب رقم 3 في الذراع الأيسر

3 أثقال على المشجب رقم 5 في الذراع الأيسر

قواسم العدد 15 هي 15,5,3,1

وبالمثل يمكن إيجاد قواسم العدد 10 وهي 10,5,2,1

القواسم المشتركة هي 5,1

القاسم المشترك الأكبر للعددين هو 5

مكعبات دينز

استخدام الوحدات من مكعبات دينز لإيجاد قواسم عدد معين والقاسم المشترك الأكبر وذلك بناء اكبر عدد ممكن من المستطيلات بالوحدات التي تمثل العدد المراد إيجاد قواسمه بنفس طريقة المكعبات المتداخلة

اللوحة الهندسية

ويمكن تمثيل قواسم العد 4 باللوحة الهندسية على النحو التالي

أو بتكوين مستطيلات مختلفة تحتوي على 4 مربعات كالتالي

التقويم :

·وضح كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام المكعبات المتداخلة ؟

· وضح كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام المكعبات المتداخلة؟

· وضح كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام قطع كوزينير؟

·وضح كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام قطع كوزينير ؟

· وضح كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام الميزان الحسابي؟

· وضح كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام الميزان الحسابي؟

· وضح كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام اللوحة الهندسية؟

·وضح كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام اللوحة الهندسية؟

·وضح كيفية إيجاد قواسم عدد معين باستخدام مكعبات دينز؟

· وضح كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر باستخدام مكعبات دينز؟