مقارنة الكسور

الأهداف:

1. أن يقارن الطالب بين الكسور متحدة المقام باستخدام قطع النماذج و قطع كوزينير و المكعبات المتداخلة و الميزان الحسابي واللوحة الدائرية واللوحة الهندسية

2. أن يقارن الطالب بين الكسور متحدة البسوط باستخدام قطع النماذج و قطع كوزينير و المكعبات المتداخلة و الميزان الحسابي واللوحة الدائرية واللوحة الهندسية

3. أن يقارن الطالب بين الكسور مختلفة البسوط ومختلفة المقامات باستخدام قطع النماذج و قطع كوزينير و المكعبات المتداخلة و الميزان الحسابي واللوحة الدائرية واللوحة الهندسية

الوسائل التعليمية:

قطع النماذج– قطع كوزينير- المكعبات المتداخلة – الميزان الحسابي اللوحة الدائرية- اللوحة الهندسية - مذكرة الوحدة الدراسية المقترحة - السبورة

العرض :

1- إذا كانت الكسور متحدة المقام فقيمة الكسر تكبر بكبر البسط وتصغر بصغر البسط :

2 - إذا كانت الكسور متحدة البسوط فقيمة الكسر تكبر بصغر المقام وتصغر بكبر المقام :

3 - إذا كانت مختلفة البسوط ومختلفة المقامات

1 - إذا كانت الكسور متحدة المقام فقيمة الكسر تكبر بكبر البسط وتصغر بصغر البسط :

قطع النماذج

باعتبار ان القطعة الصفراء تمثل الوحدة ، نلاحظ الآتي :

<

<

وإذا كان الشكل التالي يمثل الوحدة :

نلاحظ أن

<

وَ

<

وَ

<

وإذا كان الشكل التالي يمثل الوحدة :

نلاحظ أن

<

وهكذا

ولتوضيح العلاقة بين الثُمن والثمنين نقرر أن الشكل التالي يمثل الوحدة :

فنلاحظ أن

<

وإذا كان ثلاث قطع صفراء تمثل الوحدة فإن القطعة الزرقاء تمثل التُسع ويمكن

ملاحظة أن

<

ويمكن توضيح العلاقة بين الأرباع بتكوين مربع من أربع مربعات يمثل الوحدة كما في الشكل التالي

أو باعتبار قطعتين صفراء تمثل الوحدة

فإن القطعة الحمراء تمثل الربع

قطع كوزينير

إذا كانت القطع البنية تمثل الوحدة

فإن القطع الحمراء تمثل الأرباع ، وبمقارنة القطع مع بعضها البعض نلاحظ :

< وَ <

والقطع البيضاء تمثل الأثمان وبمقارنتها مع بعضها البعض نلاحظ أن :

< وَ <

وَهكذا

وإذا كانت القطعة الخضراء الغامقة تمثل الوحدة

فإن القطعة الحمراء تمثل الثلث وبمقارنتهما مع بعضها البعض نلاحظ أن :

<

أما القطعة البيضاء فتمثل السدس ونلاحظ أن :

<

وهكذا إذا أقررنا أن القطعة السوداء تمثل الوحدة فمن الممكن بالقطعة البيضاء :

التحقق من :

< < < < <

وبنفس الطريقة ويمكن التحقق من أن :

> > >

عند مقارنة القطعة البيضاء بعضها ببعض عندما تكون القطعة الصفراء تمثل الوحدة

المكعبات المتداخلة

ببناء سلسلة من ثلاثة مكعبات ، مكعبين أحمرين والآخر أصفر ، فنلاحظ أن المكعب

الأصفر يمثل السلسلة بينما المكعبات الحمراء تمثل وعليه فإن :

<

ومن الممكن بناء سلسلتين كل منها مكونة من 3 مكعبات الأولى تحتوي على مكعبين أخضرين ويمثلان السلسلة .

والثانية تحتوي على مكعب أخضر ويمثل السلسلة :

ولو قمنا بناء سلسلة مكونة من 5 مكعبات كل مكعب بلون مختلف نلاحظ أن اللون الواحد يمثل واللونين معاً يمثلان والثلاثة ألوان مجتمعة تمثلالسلسلة وهكذا وعليه فإنه :

< < < <

الميزان الحسابي

بوضع ثقل على المشجب الذي يمثل من الذراع الأيسر وثقل على المشجب الذي يمثل من الذراع الأيمن نلاحظ أن الذراع الأيمن يميل إلى الأسفل مما

يعني أن

وبنفس الطريقة يمكن المقارنة بين وَ أو بين و

أو بين و

وبالإمكان المقارنة بين وَ بوضع ثقلين علي المشجب الذي يمثل

من الذراع الأيمن وثقل على المشجب الذي يمثل من الذراع الأيسر فنحقق أن

<

اللوحة الدائرة :

إذا قسمنا الدائرة إلى أربعة أجزاء متساوية يمكننا مقارنة الربع مع الربعين مع الثلاثة أرباع وتستنج أن :

< < <

اللوحة الهندسية :

بتقسيم المثلث الكبير إلى 4 مثلثات صغيرة متساوية :

نلاحظ أن مثلثين يشكلان مربع أو متوازي أضلاع وهما يمثلان ربعي المثلث الكبير ، بينما ثلاثة مثلثات تشكل شبه منحرف وهي تشكل المثلث الكبير ، وبمقارنة الأشكال السابقة مع المثلث الصغير الذي يمثل نلاحظ :

< <

ويمكن تقسيم المثلث إلى أربع مثلثات صغيرة متساوية بطريقة أخرى,بحيث يشكل المثلثان مربع أو مثلث و3 مثلثات تشكل شبه منحرف .

وبالمثل

لاحظ أن الشكل السابق مكون من 3 مثلثات متساوية, مثلث متساوي الساقين في الجهة اليمنى ويمثل الشكل ، ومثلثين قائمي الزاوية ويشكل مثلث كبير متساوي الساقين ويمثلان الشكل وعليه فإنه <

ويمكن تكوين مستطيل مكون من صفين وتقسيم الصف الثاني إلى 4 أجزاء متساوية أو إنشاء مربع وتجزئته إلى 4 مربعات صغيرة للتحقق من أن

< < <

2- إذا كانت الكسور متحدة البسوط فقيمة الكسر تكبر بصغر المقام وتصغر بكبر المقام :

قطع النماذج :

إذا كان الشكل التالي يمثل الوحدة فإن القطعة الصفراء تمثل النصف وقطعتين زرقاء تمثل الثلث والقطعة الحمراء تمثل الربع والقطعة الزرقاء تمثل السدس والقطعة الخضراء تمثل ، وبمقارنتها مع بعضها البعض نلاحظ :

< < < <

وسوف نحصل على نفس الترتيب لو أخذ نصفين وثلثين وربعين وسدسين وهو كتالي :

< < < <

وهكذا إذا تساوت البسوط فالأصغر هو الأكبرمقاماً

قطع كوزينير

إذا كانت القطعة الخضراء الغامقة تمثل الوحدة ، فإن القطعة الخضراء الفاتحة تمثل النصف والقطعة الحمراء تمثل الثلث والقطعة البيضاء تمثل السدس وبمقارنة القطع مع بعضها البعض نجد أن :

< <

ولو أخذنا قطعتين من كل لون نجد ان :

< <

وإذا كانت القطعة البينية تمثل الواحد فإنه القطعة البنفسجية تمثل النصف والقطعة الحمراء تمثل الربع والقطعة البيضاء تمثل الثمن وعند المقارنة نجد ان :

< <

وعند مقارنة 3 قطع حمراء التي تمثل الربع مع 3 قطع بيضاء التي تمثل الثمنين نجد ان :

<

المكعبات المتداخلة :

ببناء مستطيل مكون 12 مكعب أبعاده 3 × 4 نلاحظ أن 6 مكعبات تمثل النصف و4 مكعبات تمثل الثلث و3 مكعبات تمثل الربع ومكعبين يمثلان السدس ومكعب واحد يمثل وبمقارنة عدد المكعبات التي تمثل كل كسر نجد ان :

< < < <

وبمقارنة عدد المكعبات نجدان 12 مكعب تمثل نصفين و6 مكعبات تمثل ثلثين و4 مكعبات ربعين و4 مكعبات تمثل سدسين ومكعبين يمثلان لنجد ان :

< < < <

وهكذا نستنتج انه في حالة تساوي البسوط الكسر يصغر بكبر المقام

الميزان الحسابي

بوضع ثقل على المشجب الذي يمثل على الذراع الأيسر وثقل على المشجب الذي يمثل على الذراع الأيمن نلاحظ أن الذراع الأيمن يميل إلى الأسفل مما يعني أنه <

وعند وضع ثقلين على كل من المشجين السابقين نجد الذراع الأيمن يميل للأسفل مما يحقق أن : <

ويوضع ثقل على المشجب الذي يمثل على الذراع الأيمن وثقل على المشجب الذي يمثل على الذراع الأيسر نلاحظ أن الذراع الأيمن يميل إلى الأسفل مما يعني أنه : <

ومن الممكن المقارنة بين الكسور المتحدة البسوط ( , , ) أو
( , ) بوضع ثقل أو أكثر على المشجين اللذان يمثلان الكسرين المراد المقارنة بينها كل في طرف من طرفي الميزان .

اللوحة الدائرية

بتقسيم الدائرة إلى جزأين حيث كل جزء يمثل النصف ، ثم تقسيمها إلى 4 أجزاء حيث يمثل كل جزء الربع وتقسيمها إلى ثمانية أجزاء حيث يمثل كل جزء الثمن وبمقارنة الأجزاء نجد ان :

< <

اللوحة الهندسية

إذا كان الشكل السابق يمثل الوحدة فإن المثلث الأصفر يمثل النصف والمثلث الأزرق يمثل الربع والمثلث الأخضر يمثل الثمن والمثلث الأزرق الفاتح أو المثلث الأبيض يمثل وبمقارنة المثلثات تستنتج أن :

< < <

3- إذا كانت مختلفة البسوط ومختلفة المقامات

قطع النماذج

إذا كانت القطعة الصفراء تمثل الوحدة فإن القطعة الحمراء تمثل النصف والقطعة الزرقاء تمثل الثلث والقطعة الخضراء تمثل السدس فيمكن مقارنة الكسور التالية مختلفة البسوط ومختلفة المقامات :

<

<

<

وإذا قمنا بمقايضة الأشكال السابقة بقطع أخرى مع توحيد اللون وتقليل عدد إلى أقصى ما يمكن نلاحظ أن :

< <

< <

< <

ومنه نستنتج أنه في حالة اختلاف البسوط واختلاف المقامات نوحد المقامين باستخدام المضاعف المشترك الأصغر أو إيجاد كسور مكافئة لها المقام نفسه ثم تتم عملية المقارنة .

قطع كوزينير

إذا كانت القطعة البنية تمثل الواحد فإن القطعة البنفسجية تمثل النصف,والقطعة الحمراء تمثل الربع ,والقطعة البيضاء تمثل الثمن وعليه فإن :

<

وعند مقايضة القطعة البنفسجية بقطع بيضاء نجد أنها تمثل 4 قطع بيضاء

مما يعني

<

وبالمثل نلاحظ أن :

< بالمقايضة <

< <

عند المقارنة بين كسور مختلفة البسوط ومختلفة المقامات علينا إيجاد كسور مكافئة لها المقام نفسه ثم المقارنة.

وإذا كانت القطعة الخضراء الغامقة تمثل الواحد فإن القطعة الخضراء الفاتحة تمثل النصف, والقطعة الحمراء تمثل الثلث, والقطعة البيضاء تمثل السدس .

فيمكن التحقق من أن :

< <

وبمقارنة جميع القطع بالقطعة البيضاء نجد ان :

> >

المكعبات المتداخلة

إذا كان المستطيل المكون من 12 مكعب يمثل الوحدة فإن 6 مكعبات تمثل النصف و 4 مكعبات تمثل الثلث و 3 مكعبات تمثل الربع ومكعبين يمثلان السدس وعليه فإن :

عشرة مكعبات تمثل خمس أسداس المستطيل وتسع مكعبات تمثل ثلاث أربع المستطيل وثمان مكعبات تمثل ثلثين المستطيل و 6 مكعبات تمثل نصف المستطيل وبمقارنة عدد المكعبات نلاحظ أن :

< < <

وبملاحظة أن خمسة أسداس تمثل عشرة مكعبات من 12 مكعب في المستطيل, نحصل على كسر مكافىء وهو وبالمثل الثلاثة أرباع تكافئ والثلثين
والنصف تكافئ ومنه :

< < <

الميزان الحسابي :

بوضع ثقل على المشجب الذي يمثل في الذراع الأيسر وثقل على المشجب الذي يمثل في الذراع الأيمن نجد ان الذراع الأيمن يميل إلى الأسفل مما يدل على ان :

<

وبالمثل يمكننا المقارنة بين , وَ , وَ , وَ ,

اللوحة الدائرية :

بتقسيم الدائرة إلى ثمانية أجزاء متساوية نلاحظ أن الجزء الواحد يمثل ثمن الدائرة و 4 أجزاء تمثل النصف و6 أجزاء تمثل ثلاثة أرباع الدائرة وبمقارنة الكسور نلاحظ أن

< وَ <

وبمقارنة عدد الأجزاء بالنسبة للدائرة في كل كسر نحصل على :

< وَ <

اللوحة الهندسية :

إذا كان الشكل التالي يمثل الوحدة فإن أصغر مثلث يمثل نلاحظ أن :

< < < وبمقارنة عدد الأجزاء في الكسور السابقة بالنسبة لعدد الأجزاء الكلية في الشكل نحصل على كسور مكافئة لها نفسه المقام وهي :

< < <

التقويم:

· اشرح كيف يمكن المقارنة بين الكسور متحدة المقام باستخدام قطع النماذج و قطع كوزينير و المكعبات المتداخلة و الميزان الحسابي واللوحة الدائرية واللوحة الهندسية ؟

· اشرح كيف يمكن المقارنة بين الكسور متحدة البسوط باستخدام قطع النماذج و قطع كوزينير و المكعبات المتداخلة و الميزان الحسابي واللوحة الدائرية واللوحة الهندسية ؟

· اشرح كيف يمكن المقارنة بين الكسور مختلفة البسوط ومختلفة المقامات باستخدام قطع النماذج و قطع كوزينير و المكعبات المتداخلة و الميزان الحسابي واللوحة الدائرية واللوحة الهندسية ؟